前回の「期待値＋90万円のはずが軍資金切れ!?」の続き。中身がなくなったカボチャ貯金箱を、テープとリボンでむりやり着飾ってきたアバくん。今回は期待値＋3,000円が同じでも、結果の「荒さ」は約2.5倍違うのか？ を、分散と標準偏差で確かめます。
最初に確認：この記事の勝率・金額は、毎回2種類の最終純収支しか起きない説明用の架空モデルです。実在機種の実測データ、将来の勝率や利益を予測する数字ではありません。また、前回の軍資金24,000円による途中停止ルールは今回の標準偏差の計算に含めません。同じ条件で独立に所定回数を完遂できる数学上の仮定です。
前回から生還!? ボロボロカボチャを着飾って再登場
前回、軍資金24,000円の仮想モデルで「途中の資金切れ」を学んだアバくん。カボチャ貯金箱は空っぽ、外側にはヒビと穴。それでもテープ、リボン、キラキラの飾りを巻きつけて、ハロウィンの続編に登場しました。
アバくんトリック・オア・期待値ー！ 見てくれ、カボチャ貯金箱が華麗に復活したぞ！
ヤバくん……包帯みたいなテープにリボン、シール。前回よりボロボロじゃないか。
アバくん前回の軍資金切れで中身が空になったんだ！ だから今日は外側だけでも豪華にした！
ヤバくん貯金箱の穴をふさいだのは偉い。でも飾りで中身は増えないぞ。
アバくんカボチャに金色のリボンを付けたら期待値まで金色にならない？
ヤバくんならない。今日は前回予告した『同じ期待値でも収支の荒さが違う理由』だ。
アバくん荒さ？ このカボチャのひび割れ具合なら世界一だ！
ヤバくん表面の傷じゃない。結果が平均の金額からどれだけ散らばるかを調べる。
アバくん前回は途中で財布が空になる確率だったな。今回もまたお金を失う話か？
ヤバくん今回は新しい指標『分散』と『標準偏差』だ。資金切れ確率の再計算じゃない。
アバくんひび割れカボチャで、数学までボロボロにならないか心配だぞ！
ヤバくん順番に計算すれば大丈夫。今回は飾りより中身をしっかり見よう。
期待値は同じ＋3,000円でも、勝敗の中身はこんなに違う
比較するのは前3作から続く二つの架空モデルAとB。1回ごとの結果が「勝ち」「負け」の2通りに限られ、試行ごとの条件が一定という仮定です。現実のパチンコの出玉分布・勝率を示すものではありません。
| 項目 | モデルA | モデルB |
|---|---|---|
| 勝つ確率 | 25％ | 60％ |
| 勝ったときの純収支 | ＋24,000円 | ＋7,000円 |
| 負ける確率 | 75％ | 40％ |
| 負けたときの純収支 | −4,000円 | −3,000円 |
| 1回の期待値 | ＋3,000円 | ＋3,000円 |
| 分散 | 147,000,000円² | 24,000,000円² |
| 標準偏差 | 約12,124円 | 約4,899円 |
アバくんこのシリーズではモデルAが勝率25％、大きく勝つ方だったよな。
ヤバくんAは25％で＋24,000円、75％で−4,000円。期待値は＋3,000円だ。
アバくんモデルBは60％で＋7,000円、40％で−3,000円で、こっちも＋3,000円！
ヤバくんそう。同じ平均でも、毎回の結果がその平均から離れる度合いは違う。
アバくんAの＋24,000円は、平均＋3,000円より21,000円も上なんだな。
ヤバくんAの−4,000円は、平均から7,000円下だ。
アバくんBの＋7,000円なら平均より4,000円上、−3,000円は6,000円下か。
ヤバくんよく見たな。この『平均との差』に確率を組み合わせる。
アバくん期待値が同じだから、俺は両方同じカボチャに詰めてた！
ヤバくんそれだと違いが見えない。外側のラベルが同じでも中身の分布は違うんだ。
アバくん勝率だけで荒さを決めてもいけないんだろ？
ヤバくんそう。確率と金額の両方が必要だ。分散の計算で確かめよう。
分散って何？ 『平均との差』を二乗して比べよう
分散は、結果と期待値の差を二乗し、各結果の確率で重み付けして足した数値です。単位は円の2乗（円²）なので、普通の収支の金額そのものではありません。
分散の計算：モデルA＝0.25×（24,000−3,000）²＋0.75×（−4,000−3,000）²＝147,000,000円²。モデルB＝0.60×（7,000−3,000）²＋0.40×（−3,000−3,000）²＝24,000,000円²。これは「確率×（各結果−平均）²」を足す計算です。
アバくん分散って、バラバラに散らかしたカボチャの飾りのことか!?
ヤバくん気持ちは近いが、ちゃんと数式がある。『結果−期待値』を二乗して確率を掛ける。
アバくんなぜ二乗するんだ？ マイナスはそのままじゃダメ？
ヤバくん単純に足すとプラスとマイナスが打ち消し合う。二乗すると離れた大きさを集計できる。
アバくんじゃあAは平均との差が＋21,000円と−7,000円。
ヤバくんAの分散は0.25×21,000²＋0.75×（−7,000）²＝147,000,000円²。
アバくん1億4,700万!? いつの間にそんなに儲かったんだ！
ヤバくん儲けた額じゃない！ 単位は円²。分散を実際の収支と読み替えるな。
アバくんBなら平均との差は＋4,000円と−6,000円だな。
ヤバくんBは0.60×4,000²＋0.40×（−6,000）²＝24,000,000円²。
アバくん分散だけ見てもAの方が大きい！
ヤバくんそう。次に平方根を取って、金額と同じ単位の標準偏差に直してみよう。
標準偏差はA約12,124円、B約4,899円。荒さは約2.47倍！
標準偏差は分散の平方根で、単位が円に戻ります。今回の2結果モデルではAが約12,124円、Bが約4,899円。その比は約2.47倍（タイトルでは約2.5倍）です。標準偏差は収支の上下限や確約された損失額を表すものではありません。
標準偏差：モデルA＝√147,000,000＝約12,124.36円、モデルB＝√24,000,000＝約4,898.98円。比は12,124.36÷4,898.98＝約2.47倍（約2.5倍）。標準偏差は収支の実現値、最大損失、上下限ではありません。
アバくん平方根!? テープの上からカボチャの根っこでも生えてきた？
ヤバくん根っこじゃない。Aの√147,000,000は約12,124円だ。
アバくんBの√24,000,000は約4,899円！
ヤバくん正解。同じ＋3,000円の期待値でも、Aの標準偏差はBの約2.47倍になる。
アバくん約2.5倍も違うのか！ 俺のボロボロカボチャがガタガタする理由が分かった！
ヤバくんカボチャのガタガタは工作の問題。でも数学上はAの収支の方が平均から大きく離れやすい。
アバくん標準偏差12,124円って、必ず12,124円損する意味？
ヤバくん違う。1回の結果はAなら＋24,000円か−4,000円。標準偏差そのものが結果になるわけじゃない。
アバくん±12,124円に必ず収まるって意味でもないんだな。
ヤバくんそう。結果の振れ方を要約した指標で、境界線でも保証でもない。
アバくん見た目は金ピカでも、裏に『標準偏差』を貼らないと数字の中身は分からない！
ヤバくんそのとおり。期待値・勝率・標準偏差は別々の情報として読むんだ。
10・30・100・300回、合計収支の標準偏差はどうなる？
それぞれの結果が独立で、前回のような資金切れによる途中停止を設けずn回すべて実行したと仮定します。その場合、n回合計の期待値は3,000×n円、合計収支の標準偏差は1回の標準偏差×√nです。
| 試行回数・累計期待値 | モデルA | モデルB |
|---|---|---|
| 1回・＋3,000円 | 約12,124円 | 約4,899円 |
| 10回・＋30,000円 | 約38,341円 | 約15,492円 |
| 30回・＋90,000円 | 約66,408円 | 約26,833円 |
| 100回・＋300,000円 | 約121,244円 | 約48,990円 |
| 300回・＋900,000円 | 210,000円 | 約84,853円 |
※計算式は「1回の標準偏差×√試行回数」。表示は円単位に四捨五入しています。途中で軍資金がなくなり停止する仮定は含めていません。また、標準偏差の金額だけから「何％がこの範囲に収まる」とは判断できません。
アバくん1回で約2.47倍なら、300回でも同じくらい差があるの？
ヤバくん独立して条件が変わらなければ、合計標準偏差の比も約2.47倍のままだ。
アバくん10回の期待値は＋30,000円だよな。
ヤバくんそう。10回合計の標準偏差はAが約38,341円、Bが約15,492円になる。
アバくん平均の3万円より大きい標準偏差!? だから短期は大きく振れるのか。
ヤバくんそう考える手がかりになる。ただし『標準偏差の範囲内に必ず入る』わけじゃない。
アバくん100回なら期待値＋30万円。標準偏差は？
ヤバくんAが約121,244円、Bが約48,990円だ。
アバくん300回の期待値は＋90万円！ こっちはどうだ？
ヤバくんAの合計標準偏差が210,000円、Bが約84,853円だ。
アバくんえっ、回数を増やすと合計金額の振れ幅の数字は大きくなるの!?
ヤバくんそうだ。次は『合計の標準偏差』と『1回あたりの平均の標準偏差』を分けて説明しよう。
合計の振れ幅は増えても、1回あたりの平均は安定しやすい
n回の合計標準偏差は√n倍になる一方、「n回の合計収支÷n」という実績平均の標準偏差は1回の標準偏差÷√nです。大数の法則による平均への近づきやすさと、累計金額のぶれがなくならないことは両立します。
混同しないための式：n回合計の標準偏差＝単回の標準偏差×√n。n回分の1回あたり実績平均の標準偏差＝単回の標準偏差÷√n。300回なら合計はA210,000円・B約84,853円ですが、実績平均ではA700円・B約283円となります。
アバくん待って！ 300回で大数の法則なら、振れ幅は小さくなるんじゃなかったの？
ヤバくんそれは1回あたりの実績平均を見る場合だ。合計の金額そのものとは別だぞ。
アバくん300回の合計は大きく振れても、300で割った平均のばらつきは小さくなるの？
ヤバくんそう。Aの300回の平均の標準偏差は210,000÷300＝700円になる。
アバくんBは84,853÷300で約283円か！
ヤバくん元の1回あたりの標準偏差A約12,124円、B約4,899円より小さくなっている。
アバくん100回の平均の標準偏差ならA約1,212円、B約490円だな？
ヤバくん正解。試行回数が増えるほど、1回あたりの実績平均は期待値に近づきやすくなる。
アバくんでも300回の実収支が絶対90万円になるわけじゃない。
ヤバくんそうだ。個々の結果の違いも、合計収支のばらつきも消えない。
アバくん合計と平均をごちゃ混ぜにすると、またカボチャの中身を読み違えるな。
ヤバくんその通り。何を足して、何で割った標準偏差なのかを確認しよう。
『標準偏差が小さい＝必ず安全』ではない理由
この計算は二つの架空の2結果モデルに限った比較です。標準偏差の大小だけから、実際の機種の勝率、資金切れ確率、最大損失、遊技の安全性などを断定することはできません。
アバくんじゃあ標準偏差の小さいBを選べば、もう何も心配ない！
ヤバくんそれも早とちり。標準偏差はリスクの一面で、全てを表す数字じゃない。
アバくんBにも負ける結果はあるし、300回の利益も保証されないよな。
ヤバくんそう。勝率、損失の出方、資金の限度、継続条件は別に確認する必要がある。
アバくん前回の軍資金24,000円の計算は、ここには含んでないんだな。
ヤバくん含んでいない。今回は途中終了のない、固定条件での合計と平均のばらつきを扱う。
アバくんじゃあ標準偏差の数字だけで『実際の台もAよりBが安全』と言うのはだめ？
ヤバくんだめだ。そもそも実際のパチンコは勝ち負け2種類の結果だけではない。
アバくん出玉も回転率も、交換条件も投資のタイミングも関係するか。
ヤバくんそのとおり。標準偏差が分かっても、利益や資金の十分性を保証することはできない。
アバくんじゃあ生活費を持ってきて、確率をならすまで打ち続けるのも違う。
ヤバくんもちろん違う。知識は無理をする口実ではない。遊技するなら予算と時間の上限を優先するんだ。
まとめ｜カボチャを鉄製にしても、確率は鉄壁にならない！
今回の新しいポイントは、同じ期待値＋3,000円の仮想モデルでも、標準偏差では約2.47倍の差があること。そして「合計のばらつき」と「1回あたりの実績平均のばらつき」は回数によって異なる変化をすることです。
アバくん分かった！ AもBも期待値は＋3,000円。でも標準偏差はA約12,124円、B約4,899円！
ヤバくんそう。標準偏差で比べれば、今回のAはBの約2.47倍だ。
アバくん300回の合計標準偏差はA21万円、B約84,853円。でも平均ならA700円、B約283円！
ヤバくんよく覚えたな。合計と1回あたりの平均を分けることが大切だ。
アバくんそれと、標準偏差は最大の損失額でも勝率でもない。
ヤバくん正解。架空の二つの収支分布を数字で比べるための指標だ。
アバくんよし！ このボロボロカボチャもそろそろ卒業だ！
ヤバくんテープとリボンで飾りつけて、ずいぶん愛着が湧いたようだな。
アバくん次は鉄製カボチャ貯金箱だ！ 鉄なら割れないし、期待値も鉄壁になる！
ヤバくん貯金箱を丈夫にしても、確率分布や標準偏差は1ミリも変わらない！
アバくんええっ!? じゃあせめて金色に塗って『期待値＋3,000円』って書こうかな！
ヤバくん外見を盛るより、数字の条件を確かめろ！ ハロウィンが終わっても勉強は続くぞ。
今回のまとめ：①期待値＋3,000円でも分散と標準偏差は違う。②2結果の仮想モデルではAの単回標準偏差はBの約2.47倍。③独立してn回繰り返すと、合計の標準偏差は√n倍、1回あたり実績平均の標準偏差は1/√n倍。④標準偏差は最大損失や実機の勝率、資金切れ確率、将来の収益を示すものではない。
これまでの連続記事：前回・軍資金切れと途中終了の違い、10回〜300回の累計赤字確率、期待値＋3,000円でも勝率25％になる数学。実際の遊技条件を整理するときはパチンコ期待値の見方・計算方法も参照してください。
次回の井戸端会議：「標準偏差±1倍なら68％安全!?｜鉄製カボチャ完全武装編」。前回「次は鉄製カボチャ」と宣言したアバくんが、今度は約68％という数字を勘違い。正規分布の性質と、実際の仮想収支モデルの区間内確率を比べます。
※登場人物・カボチャ貯金箱・会話は創作です。比較モデルの確率・収支は数学を説明するために固定した架空の数値です。実際のパチンコには多数の出玉・投資・終了条件があり、標準偏差や期待値の計算結果から利益や資金の安全性を保証できません。遊技する際は生活費を使わず、自分で決めた予算・時間の上限を優先してください。
今回登場した重要語句
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